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The normalized matrix perturbation method
Braulio M. Villegas Martínez
Héctor Manuel Moya Cessa
FRANCISCO SOTO EGUIBAR
Acceso Abierto
Atribución-NoComercial-SinDerivadas
Perturbation theory
Matrix method
Cubic oscillator
Repulsive oscillator
Narmalization constant
Waveguide array
In 1926, Schrodinger supplied the theoretical basis for analyzing the time evolution of a quantum system through his famous equation that now bears his name. Soon after its advent, an intrinsic interest emerged to get exactly solvable models by using the Schrodinger equation. However, only a very small number of problems fulfil this specific requirement. The vast majority of physical systems are rather complicated to be treated exactly; one may try to find approximate solutions with the aid of perturbation methods Among all available perturbative recipes, the Matrix Method inmediately stands out. Such as its name suggests, this scheme is devoted to seek perturbative solutions of time-dependent Schrodinger equation, ordered in power series of tridiagonal matrices. These solutions possess time-dependent factors which enable us to determine the temporal evolution of corrections. Surprisingly in this scheme, the existence of normalized solutions are completely ignored and neglected. This thesis present the complement theoretical analysis of Matrix Method started in reference [18]. In this case, we focus in determine the general expression for the normalization constant, which in principle will allow us to obtain perturbative normalized solutions to any order correction. Henceforth, we shall refer to the complete approach as the Normalized Matrix perturbation Method. Further, we show that the treatment adopted to get the normalization constant is quite different from the usual intermediate normalization procedure used in the standard time-independent perturbation theory. In order to assess the efficacy and advantages of our approach, five examples, were analyzed leading to meaningful results in their approximative solutions and in fairly good agreement with their known exact or numerical solutions.
En 1926, Schrodinger proporciona las bases teóricas para analizar la evolución temporal de un sistema cuántico a través de su famosa ecuación que ahora lleva su nombre. Poco después de su advenimiento, surge un interés intrínseco para obtener modelos exactamente solubles mediante la ecuación de Schrodinger. Sin embargo, solo un número muy pequeño de problemas relacionados con esta ecuación cumplen con este requisito. Debido que la mayoría de los sistemas físicos son bastante complicados de tratar de forma exacta, uno debe encontrar soluciones aproximadas con la ayuda de los métodos de perturbación. Entre todas las recetas perturbativas disponibles, una que destaca de inmediato es el Método Matrix. Tal como sugiere su nombre, este esquema está dedicado a buscar soluciones perturbativas de la ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo, ordenadas en series de potencia de matrices tridiagonales. Estas soluciones, por supuesto, poseen factores dependientes del tiempo que nos permiten determinar la evolución temporal de las correcciones. Sorprendentemente, en este esquema, la existencia de soluciones normalizadas son completamente ignoradas y descuidadas. En esta tesis, presentamos el análisis teórico complementario del Método Matrix iniciado en [18]. En este caso, nos enfocamos en determinar la expresión general para la constante de normalización, que en principio nos permitirá obtener soluciones perturbadas normalizadas para cualquier orden de corrección. En lo sucesivo, nos referiremos al enfoque completo como el Método Matricial de Perturbación Normalizada. Además, mostramos que el tratamiento adoptado para obtener la constante de normalización es muy diferente al procedimiento de normalización intermedia utilizado en la teoría de perturbaciones independiente del tiempo. Con el fin de evaluar la eficacia y las ventajas de nuestro enfoque, se analizaron cinco ejemplos que condujeron a resultados significativos en sus soluciones aproximadas y en muy buen acuerdo con sus soluciones exactas o numéricas conocidas.
Instituto Nacional de Astrofísica, Óptica y Electrónica
2020-01
Tesis de doctorado
Inglés
Estudiantes
Investigadores
Público en general
Villegas Martínez, B. M., (2020), The normalized matrix perturbation method, Tesis de Doctorado, Instituto Nacional de Astrofísica, Óptica y Electrónica.
ÓPTICA
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